Projective Structures On Manifolds
A projective structure is a linear geometry on a manifold in which two nearby points are connected by a line (i.e., an unparametrized geodesic) in a unique manner. Furthermore, an infinitesimal neighborhood of each point is equipped with a class of projective frames. According to Cartan (1924),
- Une variété (ou espace) à connexion projective est une variété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul espace projectif les deux petits morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ..
- Analytiquement, on choisira, d'une manière d'ailleurs arbitraire, dans l'espace projectif attaché à chaque point a de la variété, un repére définissant un système de coordonnées projectives. .. Le raccord entre les espaces projectifs attachés à deux points infiniment voisins a et a' se traduira analytiquement par une transformation homographique. ..
This is analogous to Cartan's notion of an affine connection, in which nearby points are thus connected and have an affine frame of reference which is transported from one to the other (Cartan, 1923):
- La variété sera dite à "connexion affine" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs arbitraire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attachés à deux points infiniment voisins quelconques m et m' de la variété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine attaché au point m' correspond à tel point de l'espace affine attaché au point m, que tel vecteur du premier espace es parallèle ou équipollent à tel vecteur du second espace.
In modern language, a projective structure on an n-manifold M is a Cartan geometry modelled on projective space, where the latter is viewed as a homogeneous space for PSL(n+1,R). In other words it is a PSL(n+1,R)-bundle equipped with
- a PSL(n+1,R)-connection (the Cartan connection)
- a reduction of structure group to the stabilizer of a point in projective space
such that the solder form induced by these data is an isomorphism.
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Famous quotes containing the word structures:
“The philosopher believes that the value of his philosophy lies in its totality, in its structure: posterity discovers it in the stones with which he built and with which other structures are subsequently built that are frequently better—and so, in the fact that that structure can be demolished and yet still possess value as material.”
—Friedrich Nietzsche (1844–1900)